Folgen und Grenzwerte
In der Analysis untersuchen wir häufig Prozesse, die sich einem bestimmten Wert annähern.
Folgen sind dafür eines der ersten und wichtigsten Modelle: Wir betrachten nicht einen einzelnen Wert,
sondern eine geordnete Liste von Werten und fragen, ob diese langfristig ein stabiles Verhalten zeigt.
Definition
Folge
Eine Folge ist eine Abbildung
\[
\phi : \mathbb{N} \to M
\]
Dabei ist \(M\) eine Menge. Jedem \(n \in \mathbb{N}\) wird also ein Element \(a_n \in M\) zugeordnet.
Statt \(\phi(n)\) schreiben wir meist \(a_n\) und bezeichnen die Folge beispielsweise mit \((a_n)_{n \geq 1}\), \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) oder kurz \((a_n)\).
Die Elemente \(a_n\) nennen wir Folgenglieder.
Geht die Abbildung \(\phi\) nach \(\mathbb{C}\), sind also alle Folgenglieder komplex,
nennen wir die Folge komplexe Folge.
Sind alle Folgenglieder reell, nennen wir sie reelle Folge.
Häufig schreibt man eine Folge auch suggestiv als
\(
(a_1, a_2, a_3, \dots)
\).
Definition
Konvergenz einer Folge
Sei \((a_n)_{n \geq 1}\) eine komplexe Folge und \(a \in \mathbb{C}\).
Die Folge \((a_n)\) konvergiert gegen \(a\), wenn es zu jedem gegebenen (noch so kleinen) Abstand
\(\varepsilon > 0\) einen Startindex \(N_\varepsilon \in \mathbb{N}\) gibt,
sodass für alle \(n \in \mathbb{N}\) mit \(n \geq N_\varepsilon\) gilt:
\[
|a_n - a| \leq \varepsilon
\]
Formal:
\[
\forall \varepsilon > 0 \;
\exists N_\varepsilon \in \mathbb{N} \;
\forall n \geq N_\varepsilon :
|a_n - a| \leq \varepsilon
\]
Die Zahl \(a\) heißt dann Grenzwert oder Limes der Folge.
Wir schreiben
\[
a = \lim_{n \to \infty} a_n
\]
oder kurz
\[
a_n \to a \quad (n \to \infty)
\]
Im Spezialfall
\(a_n \to 0\)
nennen wir die Folge eine Nullfolge.
Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent.
Beispiel
Die Folge \(a_n = (-1)^n\) springt zwischen \(1\) und \(-1\) hin und her. Sie nähert sich keinem einzelnen Wert dauerhaft an und ist daher nicht konvergent.
Die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\)
wird dagegen immer kleiner.
Für große \(n\) liegen die Folgenglieder beliebig nah bei \(0\).
Daher gilt \(\frac{1}{n} \to 0 \quad (n \to \infty)\).
Die Definition sieht am Anfang technisch aus. Die Idee ist aber einfach: Ab einem gewissen Index
sollen alle Folgenglieder beliebig nah am Grenzwert liegen.
Satz
Konvergenz impliziert Beschränktheit
Hat eine Folge einen Grenzwert, dann ist diese Folge beschränkt.
Satz
Der Grenzwert ist eindeutig
Hat eine Folge einen Grenzwert, dann ist dieser Grenzwert eindeutig.
Beweis
Beweisidee zur Eindeutigkeit
Angenommen, eine Folge hätte zwei verschiedene Grenzwerte a und b. Dann wählen wir ε so klein,
dass sich die ε-Umgebungen von a und b nicht überschneiden. Für große n müsste aₙ aber in beiden liegen.
Das ist ein Widerspruch.
Gut zu wissen
In der Definition von Konvergenz ist es egal,
ob wir
\(
|a_n-a| \leq \varepsilon
\)
oder
\(
|a_n-a| \lt \varepsilon
\)
fordern.
Auch wenn wir den Abstand nur bis auf einen festen (also von \(\varepsilon\) und \(n\) unabhängigen) Faktor \(c\) kontrollieren können (
\(
\forall \varepsilon > 0 \;
\exists N_\varepsilon \in \mathbb{N} \;
\forall n \geq N_\varepsilon :
|a_n - a| \leq c \times \varepsilon
\)
),
bleibt der Grenzwert derselbe.
Außerdem ändert das Weglassen von oder Verschieben um endlich vieler Folgenglieder den Grenzwert nicht.
Satz
Rechenregeln für Grenzwerte
Konvergente Folgen verhalten sich beim Rechnen genau so,
wie wir es intuitiv erwarten würden.
Gilt
\(
a_n \to a
\)
und
\(
b_n \to b,
\)
dann gilt auch
Summe
\[
a_n + b_n \to a+b
\]
Produkt
\[
a_n b_n \to ab
\]
Kehrwert
Wichtig: Die Folge \((a_n)\) darf hierbei keine Nullfolge sein.
\[
\frac{1}{a_n} \to \frac{1}{a}
\]
Satz
Konvergenz komplexer Folgen
Bei komplexen Zahlen dürfen wir Realteil und Imaginärteil getrennt betrachten.
Konvergiert eine komplexe Folge, dann konvergieren auch ihr
Realteil, ihr Imaginärteil und ihr Betrag:
\[
\begin{aligned}
a_n \to a
\end{aligned}
\quad \Longrightarrow \quad
\left\{
\begin{aligned}
\operatorname{Re}(a_n) &\to \operatorname{Re}(a) \\
\operatorname{Im}(a_n) &\to \operatorname{Im}(a) \\
|a_n| &\to |a|
\end{aligned}
\right.
\]
Wenn Realteil und Imaginärteil jeweils konvergieren, dann konvergiert auch die komplexe Folge selbst:
\[
\left.
\begin{aligned}
\operatorname{Re}(a_n) \to b \\
\operatorname{Im}(a_n) \to c
\end{aligned}
\right\}
\quad \Longrightarrow \quad
a_n \to b + ic
\]
Satz
Sandwichkriterium
Liegt eine Folge dauerhaft zwischen zwei anderen Folgen,
die beide gegen denselben Grenzwert konvergieren,
dann muss auch die mittlere Folge gegen diesen Grenzwert konvergieren:
\[
\left.
\begin{aligned}
a_n \le c_n \le b_n \\
a_n \to a \\
b_n \to a
\end{aligned}
\right\}
\quad \Longrightarrow \quad
c_n \to a
\]
Bislang setzen alle Sätze in diesem Kapitel voraus, dass gewisse Folgen konvergieren. Im nächsten Abschnitt folgern wir hingegen die Existenz
eines Grenzwerts aus einfacher nachzuweisenden Eigenschaften einer Folge.
Definition
Monotone Folgen
Eine reelle Folge kann mit wachsendem Index entweder größer,
kleiner oder abwechselnd beides werden.
Folgen mit einem gleichbleibenden Verhalten nennt man monotone Folgen.
Wachsende Folge
Eine Folge heißt wachsend, wenn jedes Folgenglied mindestens so groß ist
wie das vorherige:
\[
a_{n+1} \ge a_n
\]
Gilt sogar immer \(a_{n+1} > a_n\),
so heißt die Folge strikt wachsend.
Fallende Folge
Eine Folge heißt fallend, wenn jedes Folgenglied höchstens so groß ist
wie das vorherige:
\[
a_{n+1} \le a_n
\]
Gilt sogar immer \(a_{n+1} < a_n\),
so heißt die Folge strikt fallend.
Wir nennen eine Folge monoton,
wenn sie entweder wachsend oder fallend ist.
Wächst eine Folge \(a_n\), so schreiben wir \(a_n \nearrow\). Fällt sie, so schreiben wir \(a_n \searrow\). Wenn außerdem \(a_n \to a\) gilt, so schreiben wir \(a_n \nearrow a\) bzw. \(a_n \searrow a\).
Beispiel
Potenzfolgen
Für \(p > 0\) gilt:
\[
\left(n^{-p}\right)_{n \ge 1}
=
\left(\frac{1}{n^p}\right)_{n \ge 1}
\]
ist strikt fallend,
denn mit wachsendem \(n\) werden die Werte immer kleiner.
\[
\left(n^p\right)_{n \ge 1}
\]
ist dagegen strikt wachsend.
Eine Folge direkt vergleichen
Betrachte die Folge
\[
a_n = \frac{n}{2n+1}
\]
Um zu zeigen, dass die Folge wächst,
vergleicht man zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder:
\[
a_{n+1}
=
\frac{n+1}{2(n+1)+1}
=
\frac{n+1}{2n+3}
\]
Nun untersucht man:
\[
\frac{n+1}{2n+3}
>
\frac{n}{2n+1}
\]
Da alle Nenner positiv sind,
darf man kreuzmultiplizieren:
\[
(n+1)(2n+1)
>
n(2n+3)
\]
Ausmultiplizieren liefert:
\[
2n^2 + 3n + 1
>
2n^2 + 3n
\]
Nach Kürzen bleibt:
\[
1 > 0
\]
Diese Aussage ist immer wahr.
Also gilt
\[
a_{n+1} > a_n
\]
Die Folge ist also strikt wachsend.